見本PDF 高校リード問題集 数学 | 塾用教材 | 教育開発出版株式会社 2017lead sa sample

3個の数字1，2，3を全部並べて3桁の整数をつくるとき，その並べ方をすべて求めよ．

1

例題 １ 樹形図

3個の文字a，b，cを1列に並べるとき，その並べ方をすべて求めよ． 解 樹形図をかいて求めると，右のようになる．

 よって，文字の並べ方は，次の6通りである． abc，acb，bac，bca，cab，cba

例題 ２ 和の法則

1から8までの数を1つずつ書いた8枚のカードがある．これらから，同時に2枚のカードを 引くとき，次の問いに答えよ．

⑴ カードの数の和が6または7になる場合の数を求めよ．

⑵ カードの数の積が6以下になる場合の数を求めよ．

解 2枚のカードの数は異なるから，小さい方の数を先に書いて整理する．

⑴ 和が6… 1と5， 2と4

  和が7… 1と6， 2と5， 3と4   よって，2＋3＝5 (通り)

⑵ 積が1…なし  積が2…1と2 積が3…1と3 積が4…1と4   積が5…1と5 積が6…1と6，2と3

  よって，1＋1＋1＋1＋2＝6 (通り)

●ポイント

① あるものを，もれなく，重複もしないように数えあげるには，樹形図をかくと便利である．

② あることがらについて，起こりうるすべての場合を数えあげるとき，その総数を場合の数という．

③ 〔和の法則〕 2つのことがらA，Bがあって，これらは同時には起こらないとする．Aの起こり 方がm通り，Bの起こり方がn通りならば，AまたはBの起こる場合の数は m＋n 通りである．

4個の数字1，1，2，3から，3個を選んで3桁の整数をつくるとき，その並べ方は何通りあ るか．

2

  大中小の3個のさいころを同時に投げるとき，目の和が5になる場合は何通りあるか．

3

a ^{b c}

c b

b ^{a c}

    c ^a

c ^{a b}

b a

場合の数・順列

●ポイント

① 〔積の法則〕 2つのことがらA，Bがあって，Aの起こり方がm通りあり，そのおのおのに対し て，Bの起こり方がn通りあるとき，AとBがともに起こる場合の数は mn 通りである．

② 積の法則は，AかつBが起こるという2つの場合だけでなく，AとBとCが同時に起こるという 3つ以上の場合にも成り立つ．

A地点からB地点へ行く道が3本，B地点からC地点へ行く道が6本ある．A地点からB地点を 通ってC地点へ行く方法は何通りあるか．

7

例題 ３ 積の法則①

A地点からB地点へ行く道が4本，B地点からC地点へ行く道が5本ある．A地点からB地点 を通ってC地点へ行く方法は何通りあるか．

解 A地点からB地点へ行く方法4通りのおのおのに対して， B地点からC地点へ行く方法が5通りずつあるから，   4･5＝20  よって，20通り．

  大小2個のさいころを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．  ⑴ 出た目の和が5または7になる場合の数を求めよ．

 ⑵ 出た目の和が3の倍数になる場合の数を求めよ．  ⑶ 出た目の積が8以下になる場合の数を求めよ．

5

  3つの同じさいころを同時に投げるとき，次の問いに答えよ．  ⑴ 出た目の数の和が6以下になる場合の数を求めよ．

 ⑵ 出た目の数の積が6以下になる場合の数を求めよ．

6

  次の式を展開すると，項は何個できるか．

 ⑴ (a＋b＋c＋d)(≈＋¥＋z) ⑵ (1＋≈)(1＋¥＋¥²⁾⁽¹＋z＋z²＋z³⁾

10

  あるレストランで，5種類のメインディッシュ，4種類のデザート，6種類のドリンクからそれ ぞれ1種類ずつ選ぶ方法は何通りあるか．

9

  男子30人，女子28人の中から男女1人ずつ計2人の代表を選ぶ方法は何通りあるか．

8

  1から8までの数を1つずつ書いた8枚のカードがある．これらから，同時に2枚のカードを引 くとき，次の問いに答えよ．

 ⑴ カードの数の和が10か11になる場合の数を求めよ．  ⑵ カードの数の和が6以上9以下になる場合の数を求めよ．

4

アイ ウエ

A B _d^c C

e b a

●ポイント

① ある自然数が a^pb^qc^r……と素因数分解されるとき，  正の約数の個数は，(p＋1)(q＋1)(r＋1)……(個)

 正の約数の総和は，(1＋a＋…＋a^p)(1＋b＋…＋b^q)(1＋c＋…＋c^r)……   648の正の約数について，次のものを求めよ．

 ⑴ 正の約数の個数 ⑵ 正の約数の総和

11

例題 ４ 積の法則② (約数の個数・和) 400の正の約数について，次のものを求めよ．

⑴ 正の約数の個数 ⑵ 正の約数の総和

解 ⑴ 素因数分解すると 400＝2⁴･5²だから，400の約数は 2⁴と 5²の約数の積で表される． 2⁴_{の約数は，1，2，2}²_，2³_，2⁴_{の5通り，5}²_{の約数は，1，5，5}²_{の3通り．}

     400の正の約数は，2⁴の約数の選び方5通りのおのおのに対して，5²の約数の選び方が 3_{通りある．}

    よって，積の法則より，5･3＝15(個)

⑵ 400の正の約数は右の15個であり，これらの 約数は，次の式を展開するとすべて現れる．    (1＋2＋2²＋2³＋2⁴⁾⁽¹＋5＋5²⁾

  よって，求める正の約数の総和は，

   (1＋2＋2²＋2³＋2⁴⁾⁽¹＋5＋5²⁾＝31･31＝961

例題 ５ 補集合の利用

大小2個のさいころを同時に投げるとき，その目の積が偶数になる場合の数を求めよ． 解 起こりうるすべての場合をU，目の積が偶数になる場合をAとすると，目の積が奇数になる

場合は，Aの補集合，すなわち Aとなる．

 n(U)＝6²＝36，目の積が奇数になるのは，両方の目が奇数になるときで，n(A)＝3²＝9  よって，目の積が偶数になる場合の数は，n(A)＝n(U)−n(A)＝36−9＝27 (通り)   540の正の約数について，次のものを求めよ．

 ⑴ 正の約数の個数 ⑵ 正の約数の総和

12

  108^mの正の約数の個数が70個となるような自然数mの値を求めよ．

13

  300の正の約数について，次のものを求めよ．

 ⑴ 正の約数の2乗の総和 ⑵ 正の約数の逆数の総和

14

1 2 2² 2³ 2⁴ 1 1 2 2² 2³ 2⁴ 5 5 2_･5 2²_{･5 2}³_{･5 2}⁴_･5 5² 5² 2･5² 2²･5² 2³･5² 2⁴･5²

●ポイント

① 階乗 n !＝n(n−1)･……･2･1

  大小2個のさいころを同時に投げるとき，少なくとも1個は奇数の目が出る場合の数を求めよ．

15

  大中小3個のさいころを同時に投げるとき，その目の積が偶数になる場合の数を求めよ．

16

1から10までの数字を1つずつ書いた10個の赤い玉が赤い袋に，1から10までの数字を1つずつ 書いた10個の青い玉が青い袋にそれぞれ入っている．2種類の袋から1個ずつ玉を取り出すとき， 2つの玉に書かれた数の積が3の倍数である場合の数を求めよ．

17

  a，b，c，d，e，fの6人の中から，走る順番を考えて，4人の走者を選ぶとき，選び方は 何通りあるか．

19

例題 ６ 順列

p，q，r，sの4文字から，異なる3個を取って1列に並べるとき，並べ方は何通りあるか． 解 第1の文字の取り方は4通り．第1の文字にpを取ったときは右の樹形

図のようになる．よって，並べ方の総数は，4･3･2＝24 より，24通り．

  一般に，異なるn個のものからr個を取って1列に並べたものを，n個 のものからr個取った順列といい，その総数をn^Prrで表す．

  この場合は，^4P3＝4･3･2＝24 と表される．

  赤，青，黄，緑，黒の5本の旗がある．この中から3本選んで1列に並べるとき，並べ方は何通 りあるか．

18

例題 ７ 階乗 n !  次の階乗を計算せよ．

⑴ 2 ! ⑵ 5 ! ⑶ 10 !

解 1からnまでのすべての自然数の積をnの階乗といい，n ! で表す．   ⑴ 2 !＝2･1＝2 ⑵ 5 !＝5･4･3･2･1＝120   ⑶ 10 !＝10･9･8･7･6･5･4･3･2･1＝3628800

  次の階乗を計算せよ．

 ⑴ 3 ! ⑵ 6 ! ⑶ 1 !

 ⑷ ^{5 !}_{2 !} ⑸ ^{8 !}_{3 !} ⑹ ^{7 !}_{6 !}

20

q ^r s

p r ^q s

s ^q r

●ポイント

① 順列 nPr_＝

n !

(n_{−r)! ＝}ⁿ⁽ⁿ−1)･……･(n−r＋1)

② ①の式で r＝n のとき nPn＝^{n !}_{0 !} となる．そこで，r＝n のときも成り立つように，0 !＝1 と定める．

③ 実際に順列を使って問題を解くときは，「n個の異なるものからr個取って並べる」のnとrがい くつになるかを判断して，^nPrrの計算を行う．

  次の値を求めよ．

 ⑴ 6P2 ⑵ 10P2 ⑶ 6P5

 ⑷ 4P4 ⑸ 100P1 ⑹ 8P4

 ⑺ ^7P4

6P3 ^⑻

9P1

9P2 ^⑼

4P3 6P4

21

例題 ８ 順列の記号 nPr

次の値を求めよ．

⑴ 5P2 ⑵ 7P3 ⑶ 12P4

解 _⑴5P2＝_{(5−2)! ＝}^{5 ! 5･4･3･2･1}_{3･2･1 ＝}⁵･4＝20

  ⑵ 7P3＝7･6･5＝210 〔注〕 慣れたら，⑵のように計算するとよい．   ⑶ 12P4＝12･11･10･9＝11880

例題 ９ 順列 n^Prr の利用 次の問いに答えよ．

⑴ 1，2，3，4，5の5個の数字を用いて3桁の整数は何個できるか．ただし，同じ数字を くり返し用いることはできないものとする．

⑵ 50人のクラスで，学級委員，副学級委員をそれぞれ1人選ぶ方法は何通りあるか． 解 ⑴ 5個の異なるものから3個取って並べる並べ方より，5P3＝5･4･3＝60 (個)

 ⑵ 50個の異なるものから2個取って並べる並べ方より，^50P2＝50･49＝2450 (通り)

2，3，4，5，6，7の6個の数字を用いて3桁の整数は何個できるか．ただし，同じ数字を くり返し用いることはできないものとする．

22

  45人のクラスで，学級委員，図書委員，選挙管理委員をそれぞれ1人選ぶ方法は何通りあるか． ただし，兼任はできないものとする．

23

  15冊の異なる本の中から5冊を選んで本棚に並べる方法は何通りあるか．

24

●ポイント

① nPr^rの公式が直接使えない場合もある．和の法則や積の法則，場合分けをうまく使って求める．

②

₂₉

6個の数字0，1，2，3，4，5がある．この中から異なる数字を用いて整数をつくるとき， 次のような整数は何個できるか．

⑴ 3桁の整数

⑵ 3桁で400以上の整数

解 ⑴ 百の位は，1，2，3，4，5の中から1つ選ぶから ^5P1通り．     十の位，一の位は残りの5個の中から2つ選んで並べるから5P2通り．     よって，^5P1×5P2＝5×5･4＝100 (個)

  ⑵ 百の位は，4，5の中から1つ選ぶから，^2P1通り．

    十の位，一の位は残り5個の中から2つ選んで並べるから5P2通り．     よって，^2P1×5P2＝2×5･4＝40 (個)

  5個の数字0，1，2，3，4がある．この中から異なる数字を用いて整数をつくるとき，次の ような整数は何個できるか．

 ⑴ 3桁の整数

 ⑵ 3桁の整数で両端が奇数のもの  ⑶ 両端の数字が奇数である5桁の整数

28

  1から8までの8個の数字を用いて4桁の整数は何個できるか．ただし，同じ数字をくり返し用 いることはできないものとする．

25

  a，b，c，d，eの5個の文字すべてを使ってできる順列の数を求めよ．

26

7人の生徒が1列に並ぶ方法は何通りあるか．

27

6個の数字0，1，2，3，4，5がある．この中から異なる数字を用いて整数をつくるとき， 次のような整数は何個できるか．

 ⑴ 4桁の整数

 ⑵ 4桁で3000以上の整数

 ⑶ 両端の数字が奇数である4桁の整数  ⑷ 3桁の偶数

 ⑸ 6桁の整数

 ⑹ 両端の数字が偶数である6桁の整数

29

●ポイント

① 隣り合うものがあるときの並べ方は，隣り合うものを1つのものと考えて並べておいて，次に， 隣り合うものどうしの並べかえの個数を掛ける．

  男子2人，女子4人が1列に並ぶとき，男子2人が隣り合うような並び方は全部で何通りあるか．

30

例題 11 隣り合うものがある順列

男子3人，女子3人が1列に並ぶとき，女子3人が隣り合うような並び方は全部で何通りある か．

解 女子3人を1人と考えて，男子3人プラス1人の4人の並び方は

4P4_通り．

 その並び方1つ1つに女子3人の並び方が3P3_{通りあるから，} 4P4×3P3＝4 !×3 !＝144 (通り)

例題 12 円順列

あるグループの7人が次のように並ぶとき，何通りの並び方があるか．

⑴ 7人が1列に並ぶ．

⑵ 丸テーブルのまわりに7人が座る． 解 ⑴ 7人の並び方だから，

    7P7＝7 !＝5040 (通り)

 ⑵ 右図のような並び方は同じと考えられるから，1人を動か ないように固定して，残りの6人の座り方を考える．よって，

6P6＝6 !＝720 (通り)

 〔別解〕 右図のように，同じと考えられる並び方は，1つの座 り方に対して7通りあるから，

7 !

7 ＝6 !＝720 (通り)

  赤，青，黄，緑，白の5色で，右図のような5つの場所を塗り分けると き，青と黄が隣り合う塗り方は何通りあるか．ただし，5色全部を使って 塗り分けるものとする． 

31

6個の数字1，2，3，4，5，6を全部並べて6桁の整数をつくるとき，次の問いに答えよ．  ⑴ 4，5が隣り合う整数はいくつあるか．

 ⑵ 1，2，3が隣り合う整数はいくつあるか．  ⑶ 両端の数字が5，6である整数はいくつあるか．

32

男 男 女女女 男

1

2 7

3 6

4 5

6

7 5

1 4

2 3

●ポイント

① 異なるn個のものを円形に並べる並べ方を円順列という．その総数は (n−1) ! である．

② 異なるn個の玉でじゅず(首飾り)を作る方法をじゅず順列という．その総数は ^(n−1)!₂ である．

③ 異なるn個のものから重複を許してr個取る順列を重複順列という．その総数はn^rrである． 例題 13 重複順列

 青，赤，黄，緑，白の5色の旗がある．

⑴ この中から4色の異なる色の旗を選び，1列に並べて信号を作るとき，何通りの信号ができ るか．

⑵ ⑴で同じ色の旗を使ってよいとすると，何通りの信号ができるか． 解 ⑴ 5色の中から4色取って1列に並べる並べ方より，

5P4＝120 (通り)

  ⑵  A B C Ｄ のように1列に並べると考えると，Aの場所には5色どれでも入れられる から5通り，Bの場所にもAと同じ色を使うことができるので，5色どれでも入れること ができる．よって，Bも5通り入る．C，Dも同様に5通り入れることができる．     求める信号の種類は，

     5×5×5×5＝5⁴＝625 (通り)

  青，赤，黄，緑，白の5色の旗がある．この中から3色の旗を選び，1列に並べて信号を作る． 同じ色を使ってもよいとすると，何通りの信号ができるか．

37

  5人家族が丸いテーブルについて食事をするとき，座り方は何通りあるか．

33

6個の異なった色の玉を円形の板の上に丸く並べる方法は何通りあるか．

34

8人のグループが丸いテーブルについて会議をするとき，座り方は何通りあるか．

35

9_{個の異なる玉がある．}

 ⑴ この玉をすべて円形の板の上に円形に並べる方法は何通りあるか．  ⑵ この玉をすべて使って首飾りを作る方法は何通りあるか．

36

5個の数字1，2，3，4，5を用い，同じ数字を何度使ってもよいとして4桁の整数をつくる と，全部でいくつできるか．

38

6個の異なる箱に，異なるカード4枚をかってに入れるとすると，何通りの入れ方があるか．

39

  候補者が3人いる．7人の選挙人が記名投票で1人に1票ずつ投票するとき，その結果は何通り になるか．

40

A

  1350の正の約数の個数および総和をそれぞれ求めよ．   番号のついた10の座席に7人が座る方法は何通りあるか．

7個の数字0，1，2，3，4，5，6がある．この中から異なる数字を用いて5桁の整数をつ くるとき，奇数は何個できるか．

  男子4人，女子3人が1列に並ぶとき，特定の女子2人が隣り合う並び方は全部で何通りあるか．   色の異なる8個の玉を糸につないで首飾りを作る方法は何通りあるか．

a，b，c，d，eの5つの問題に○，×，△をつける方法は何通りあるか．

B

  アルファベット7文字A，E，G，I，K，M，Uを1列に並べる順列の総数は何通りあるか． また，これらを辞書式にアルファベット順に配列したとき，MEIGAKU は第何番目になるか．

equationsの9文字を1列に並べるとき，次のものは何通りできるか．  ⑴ oとaが隣り合うもの

 ⑵ eとuが偶数番目にあるもの

  正六角柱の8つの面を，白，黒，赤，青，緑，紫，黄，茶の8色で塗り分ける方法は何通りある か．ただし，8色全部を使って塗り分けるものとする．

  次の問いに答えよ．

 ⑴ 5人を2つの部屋A，Bに入れる方法は何通りあるか．ただし，1人も入らない部屋があって もよい．

 ⑵ 5人を2つの組に分ける方法は何通りあるか．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

■ヒント

  最初がA，E，G，I，Kである場合を数え，次に，最初がMで次がAである場合を数えていく．   ⑵ まず偶数番目にeとuを並べてから，他の文字を並べると考える．

7 8

混 合 問 題

　　Uを全体集合とし，その部分集合をA，Bとする．n(U)＝100，n(A∪B)＝90，n(A∩B)＝20， 　n(A∩B)＝30 のとき，次の値を求めよ．

　⑴　n(A) ⑵　n(B) ⑶　n(A∩B) ⑷　n(A∩B)

　　7個の数字0，1，2，3，4，5，6から，異なる4個の数字を取って並べ，4桁の整数をつ くるとき，偶数は何個できるか．

　　大人6人と子供6人が丸いテーブルについて食事をするとき，大人と子供が交互に並ぶ座り方は 何通りあるか．

　　5個の異なる箱に，異なる4個の玉をかってに入れるとすると，何通りの入れ方があるか．

　　次の問いに答えよ．

　⑴　男子10人，女子10人から4人を選ぶとき，少なくとも男子が1人含まれる場合は何通りあるか． 　⑵　15人を5人，5人，5人の3組に分ける方法は何通りあるか．

　　赤玉3個，青玉3個，黄玉5個がある．この中から4個の玉を取って並べる方法は何通りあるか．

　　袋の中に赤玉5個，青玉8個，白玉7個が入っている．この中から3個の玉を同時に取り出すと き，次の確率を求めよ．

　⑴　赤玉が2個以上出る確率 　⑵　玉の色が2色以上となる確率

　　1枚のコインを7回投げるとき，7回目に，ちょうど3回目の表が出る確率を求めよ．

　　5題のうち3題以上解いた生徒を合格とする試験がある．4題のうち平均して3題解ける生徒が この試験に合格する確率を求めよ．

　　袋Aには赤玉2個，白玉3個が入っていて，袋Bには赤玉2個，白玉2個が入っている．袋Aか ら1個の玉を取り，赤白を確認したあと，その玉を袋Bに入れる．次に，袋Bから1個の玉を取り， 赤白を確認したあと，その玉を袋Aに入れる．以上を1回の試行とする．

　⑴　1回の試行の後，袋Aに赤玉が2個，白玉が3個入っている確率を求めよ． 　⑵　2回の試行の後，袋Aに赤玉がなくなる確率を求めよ．

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

章 末 問 題 A

　　300以下の自然数のうち，次のような数はいくつあるか． 　⑴　3，5，7のうち，少なくとも1つで割り切れる数 　⑵　3でも5でも7でも割り切れない数

　⑶　3では割り切れるが，5でも7でも割り切れない数

　　赤玉5個，白玉3個，黄玉2個，青玉1個を円形に並べる方法は何通りあるか．

　　nを3以上の自然数とするとき，次の問いに答えよ．

⑴　n人をA，B，Cの3つの部屋に入れる方法は何通りあるか．ただし，空になる部屋があって もよい．

⑵　n人をA，B，Cの3つの部屋のうちの2つに入れる方法は何通りあるか．

⑶　n人を3つの組に分ける方法は何通りあるか．

　　8人のレスラーがトーナメント戦を行う．次の問いに答えよ．

⑴　異なる組合せ方法は何通りあるか．

⑵　8人には実力差があり，試合ではつねに実力上位の者が勝つと想 定する．このとき，実力3位の者が決勝戦に進出するような組合せ 方法は何通りあるか．

　　ジョーカーを除く52枚のトランプから同時に5枚を引くとき，ポーカー(トランプのゲームの一 種)の役が出る確率について考える．

　⑴　フォーカード(同じ数字のカード4枚と他の1枚)が出る確率を求めよ．

　⑵　フルハウス(同じ数字のカード3枚と同じ数字のカード2枚)が出る確率を求めよ． 　　4個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が9以下になる確率を求めよ．

　　9個の白玉と1個の赤玉の入った袋Aと，8個の白玉と2個の赤玉の入った袋Bがある．コイン を投げて表が出たらAの袋から玉を1個取り出し，裏が出たらBの袋から玉を1個取り出す．取り 出した玉はもとに戻さず，続けて同じようにして玉を取り出す．こうして，2個の玉を取り出す． 　⑴　1回目に赤玉を取り出す確率を求めよ．

　⑵　1回目と2回目に赤玉を続けて取り出す確率を求めよ．

　⑶ 　2個の玉のうち少なくとも1個が赤玉であったという条件の下で，1回目のコインが表であっ た確率を求めよ．

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

章 末 問 題 B